8.22 सांख्यिकीय यांत्रिकी और ऊष्मागतिकी में प्रतिमान-परिकल्पनाएँ

सूची ／ अध्याय 8: ऊर्जा-तंतु सिद्धांत द्वारा चुनौती दिए गए प्रतिमान सिद्धांत (V5.05)

यह अनुभाग क्या बताता है:

• पाठ्यपुस्तक-चित्र तीन खंभों पर टिका है—एरगोडिसिटी, अधिकतम एंट्रॉपी सिद्धांत, और निम्न-एंट्रॉपी प्रारम्भ।
• वास्तविक पदार्थों और लंबी अवलोकन-खिड़कियों पर ये खंबे कहाँ और क्यों डगमगाते हैं।
• ऊर्जा तंतु (Energy Threads) की सिद्धि पहली बार परिचित कराते हुए दिखाती है कि संतुलन-निकट के गुण सुरक्षित रहते हैं, जबकि दूर-संतुलन और समय-बाण को ठोस, परीक्षित प्रक्रियाओं में लौटाया जा सकता है। आगे से हम केवल ऊर्जा तंतु लिखेंगे।

I. पाठ्यपुस्तक-चित्र (मुख्यधारा क्या कहती है)

• एरगोडिसिटी का अनुमापन
  काफी लंबे समय पर किसी तंत्र का काल-औसत उस ऊर्जा के सभी सूक्ष्म-स्थितियों के औसत के बराबर माना जाता है। इसलिए ऊर्जा और बन्धन ज्ञात हों, तो सांख्यिकीय भारों से प्रेक्षणीय राशियाँ निकाली जा सकती हैं।
• अधिकतम एंट्रॉपी सिद्धांत
  दिए गए बन्धनों (जैसे औसत ऊर्जा, कण-संख्या) पर वह वितरण चुना जाता है जो एंट्रॉपी अधिकतम करे। इससे परिचित एन्सेम्बल और अवस्था-समीकरण मिलते हैं; बोल्ट्ज़मान नियतांक और तापमान एक ही लेखे में संगठित हो जाते हैं।
• समय-बाण और एंट्रॉपी-वृद्धि (दूसरा नियम)
  सूक्ष्म समीकरण प्रत्यावर्ती हैं, पर स्थूल व्यवहार में एंट्रॉपी बढ़ती है। परम्परागत व्याख्या इसे निम्न-एंट्रॉपी प्रारम्भ और मोटे-वर्णन से जोड़ती है—यदि आरम्भ बहुत सुव्यवस्थित था, तो अधिकांश इतिहास अधिक अव्यवस्था की ओर जाते हैं।

II. जहाँ लागत उभरती है (वास्तविक पदार्थों से दिखती सीमाएँ)

1. अन-एरगोडिसिटी और धीमा मिश्रण
   यथार्थवादी समय-खिड़कियों में कई तंत्र सभी उपलब्ध सूक्ष्म-स्थितियाँ नहीं छूते। काँच-सदृश गतिकी, एजिंग, हिस्टेरेसिस, दीर्घ-स्मृति और जैमिंग (निष्क्रिय व सक्रिय माध्यमों में) दर्शाते हैं कि पहुँच-क्षेत्र सीमित है—काल-औसत ≠ एन्सेम्बल-औसत।
2. अधिकतम एंट्रॉपी का क्षेत्र नारे से सँकरा
   दूर-परास अंतःक्रियाएँ, निरन्तर ड्राइव, सीमा-पम्पिंग, कड़े बन्धन-जाल या दीर्घ-जीवी संरचनाएँ हों, तो “सबसे सम्भव” वितरण व्यवस्थित रूप से बदलता है:

• भारी-पूँछ और अन्तरालित (इंटरमिटेंट) उतार-चढ़ाव।
• स्थानीय अनैसोट्रॉपी के साथ दूर-परास सहसम्बन्ध।
• वाहक गुणांक इतिहास और पथ पर निर्भर; केवल वर्तमान-अवस्था पर नहीं।

3. समय-बाण को केवल प्रारम्भिक दशा से समझाना महँगा पड़ता है
   सिर्फ “बहुत निम्न-एंट्रॉपी अतीत” कहना उन दह्लीज़ों, टूटनों, पुनर्संरचनाओं और घर्षण को कम आँकता है जो रोज़मर्रा की प्रक्रियाओं को अप्रत्यावर्ती बनाते हैं। कई बार “फ़िल्म पीछे नहीं जाती” क्योंकि हम संरचनात्मक दह्लीज़ें पार कर चुके होते हैं, न कि सिर्फ इसलिए कि “सांख्यिकीय रूप से वही अधिक सम्भव था।”
4. बहुत-से प्रभावी पैरामीटर, कम भौतिक तस्वीर
   कामचलाऊ निकटताओं में विश्राम-समय, प्रभावी तापमान और शोर-तीव्रताएँ जोड़ दी जाती हैं। वे उपयोगी हैं, पर विरले बताती हैं कि पदार्थ कहाँ “मूल्य चुका रहा है”, इसलिए स्वाभाविकता पर बहस लौट-लौट आती है।

III. ऊर्जा तंतु की पुनर्व्याख्या (उसी भाषा में, पर जाँचने योग्य सूत्र)

1. एकीकृत सहज-मानचित्र
   हम तंत्र को ऐसा माध्यम मानते हैं जिसे ताना-खिंचा या ढीला किया जा सके; जिसमें उन्मुख बनावटें और बन्द/अर्ध-बन्द संरचनाएँ बनती हैं। सूक्ष्म विघ्न आपस में मिश्रित होते हैं, समानधारित होते हैं, खुलते हैं और पुनर्संयोजित होते हैं। पहली बार हम ये एंकर स्पष्ट करते हैं:

• ऊर्जा तंतु (Energy Threads); आगे: ऊर्जा तंतु।
• ऊर्जा सागर (Energy Sea); आगे: ऊर्जा सागर।
• घनत्व (Density), तनाव (Tension), तनाव-ढाल (Tension Gradient), पथ (Path), «संगति-खिड़की» (Coherence Window)।
• लाल-स्थापन (Redshift) और कॉस्मिक माइक्रोवेव पृष्ठभूमि (CMB)। इसके बाद हम केवल हिन्दी नामों का प्रयोग करेंगे।

2. तीन “कार्य-नियम” (शून्य-क्रम यथावत, प्रथम-क्रम सुधारित)

• प्रभावी एरगोडिसिटी का नियम। एरगोडिसिटी स्वतः नहीं मिलती; यह समय-खिड़की और पथ-लागत से बँधा अनुमापन है। जब तनाव लगभग समरूप हो, संरचनाएँ अल्प-जीवी हों और मिश्रण अवलोकन-खिड़की से तेज़ हो, तब काल-औसत ≈ एन्सेम्बल-औसत (पाठ्यपुस्तक-स्थिति)। दीर्घ-जीवी संरचनाएँ और बन्धन-जाल उपस्थित हों, तो मिश्रण सुलभ उप-क्षेत्रों तक सीमित रहता है; सांख्यिकी को विभागों के अनुसार तौलना पड़ता है।
• सशर्त अधिकतम-एंट्रॉपी का नियम। जब तेज़ मिश्रण, कमज़ोर ड्राइव और स्थिर बन्धन साथ हों, तब अधिकतम एंट्रॉपी शून्य-क्रम का चेहरा देती है। दूर-परास युग्मन, सीमा-पम्पिंग या खुलना/पुनर्संयोजन-दह्लीज़ें आते ही वितरण में पथ-लागत और चैनल-क्षमता जोड़नी पड़ती है—यही भारी-पूँछ, अनैसोट्रॉपी और स्मृति-कर्नेल का कारण बनती हैं।
• समय-बाण की भौतिक जड़ें। समय-बाण केवल दूर के निम्न-एंट्रॉपी अतीत से नहीं, बल्कि यहीं-अभी पार होती अपरिवर्तनीय दह्लीज़ों से भी बनता है—टूटन, घर्षण, स्टिक–स्लिप, प्लास्टिक यील्ड, ऊष्माक्षेपी रसायन, चरण-सीमाओं की प्रगति। ये प्रक्रियाएँ प्रतिलोपनीय चरण-संरेखण को कठिन-प्रतिलोपनीय संरचनात्मक परिवर्तन में बदल देती हैं, और एंट्रॉपी-उत्पादन यहीं-अभी मापने योग्य होता है।

3. जाँचने योग्य सूत्र (नारे से प्रक्रिया तक)

• अवलोकन-खिड़की की स्वीकृति: उसी तंत्र में अवलोकन-अवधि और ड्राइव-तीव्रता बदलें। यदि कोई सुसंगत संक्रमण-बिंदु दिखे—छोटी खिड़कियाँ अधिकतम-एंट्रॉपी के करीब और लंबी खिड़कियाँ अन-एरगोडिसिटी उजागर करें—तो प्रभावी एरगोडिसिटी पुष्ट होती है।
• प्रशिक्षण और स्मृति: आवर्त-लोड/अनलोड पर हिस्टेरेसिस-लूप और दोहराने योग्य स्मृति-वक्र, जो खुलने की घटनाओं से मेल खाते हों, दिखाते हैं कि समय-बाण दह्लीज़-जाल से शासित है।
• उच्च-भार चैनल: चालित-और-प्रतिबद्ध प्रणालियों में यदि उतार-चढ़ाव की पूँछें भारी/अन्तरालित हों और परिवहन-चैनलों की ज्यामिति के साथ सधें (गाउसियन न हों), तो चैनल-क्षमता अधिकतम-एंट्रॉपी की भविष्यवाणियाँ सुधारती है।
• सीमा और दूर-क्षेत्र का सह-ड्रिफ्ट: रूक्षता या पम्पिंग को सीमा पर बदलें; यदि वाहक गुणांक और दूर-क्षेत्र की सांख्यिकी एक ही दिशा में खिसकें—आवृत्ति-निर्भरता बिना—तो अप्रत्यावर्तनीयता सीमा और आयतन मिलकर गढ़ते हैं, केवल आरम्भिक दशाएँ नहीं।

IV. प्रतिमान-प्रभाव (सार और संकलन)

• “निर्विकल्प एरगोडिसिटी” से “खिड़की-आधारित एरगोडिसिटी”
  एरगोडिसिटी को शर्तीय अनुमापन के रूप में घटाया जाता है। सीमित मिश्रण और दीर्घ-जीवी संरचनाओं पर हम क्षेत्र-आधारित या परत-आधारित आँकड़ों का उपयोग करते हैं।
• “केवल अधिकतम-एंट्रॉपी” से “अधिकतम-एंट्रॉपी + चैनल-भार”
  शून्य-क्रम बना रहता है; प्रथम-क्रम सुधार पथ-लागत, चैनल-क्षमता और सीमा-आपूर्ति से आते हैं।
• “समय-बाण = निम्न-एंट्रॉपी अतीत” से “समय-बाण = वर्तमान की दह्लीज़ें”
  निम्न-एंट्रॉपी पृष्ठभूमि परिदृश्य देती है; रोज़मर्रा की अप्रत्यावर्तनशीलता लगातार संरचनात्मक दह्लीज़ों और ऊर्जा-शमन से उत्पन्न होती है। समय-बाण की तीव्रता रियल-टाइम में देखी जा सकती है।
• “सुविधाजनक पैरामीटर” से “दृश्य पदार्थ-काउण्टर”
  विश्राम-समय और प्रभावी तापमानों को घटनाओं की गिनती—खुलना, पुनर्संयोजन, घर्षण-चरण—से जोड़ा जाता है, जिससे मनमाना ट्यूनिंग घटती है।

V. संक्षेप में
सांख्यिकीय यांत्रिकी और ऊष्मागतिकी इसलिए शक्तिशाली हैं कि वे कम मान्यताओं से बहुत कुछ समझाती हैं। कमजोरी तब दिखती है जब “हमेशा प्रतीक्षा” और “बहुत अनुशासित अतीत” ही यह समझाने लगते हैं कि मिश्रण कब होता है और अप्रत्यावर्तन क्यों बना रहता है। यहाँ हम शून्य-क्रम की सफलताओं को सुरक्षित रखते हुए प्रथम-क्रम विचलनों को पदार्थ-प्रक्रियाओं में उतारते हैं: जब मिश्रण खिड़की-आधारित हो, चैनल भार वहन करें, और दह्लीज़ें वर्तमान में पार हों, तब अधिकतम-एंट्रॉपी संतुलन-निकट को मार्गदर्शित करती रहती है, और दूर-संतुलन पर तीन-खाते—संरचना, सीमा, और ड्राइव—नियंत्रण लेते हैं। एंट्रॉपी-वृद्धि और समय-बाण गिने-जाने योग्य, दिखाए-जाने योग्य और परीक्षित-किये-जाने योग्य बनते हैं—सिर्फ सांख्यिकीय नारे नहीं।